Šachový kútik
( 9. 1. 1973)
Matematicko–šachový problém (č. 4), ktorý sme uverejnili 28. novembra 1972, má toto riešenie: Pomerne ľahko sa dá vypočítať, že na všeobecnej šachovnici n × n môže veža vykonať 2 × n^2 × (n – 1), strelec 8 × (n – 2) × (n – 1) a jazdec 2/3 × n × (2n – 1) × (n – 1) ťahov (ide o súčty všetkých ťahov zo všetkých polí šachovnice). Má teda platiť, že prvý člen sa rovná súčtu druhých dvoch – a riešením tejto kvadratickej rovnice (po predelení členom (n – 1), čo možno urobiť, lebo riešenie n = 1 nás zrejme nezaujíma) dostávame dva reálne výsledky: n = 3 a n = 8. Je iste neočakávané, že veža má toľko možností ako strelec a jazdec dovedna práve a len na dvoch šachovniciach: 3 × 3 a 8 × 8 polí. – Konkrétne na šachovnici 3 × 3 môže veža vykonať 36 rozličných ťahov, strelec 20, jazdec 16 (36 = 20 + 16) a na šachovnici 8 × 8 veža 896, strelec 560, jazdec 336 (896 = 560 + 336).
A keď sme už pri týchto počtoch, zoznam ešte doplníme ostatnými kameňmi: dáma môže vykonať 1456 rozličných ťahov, kráľ 420 a pešiak 140 (ak nepočítame jeho premeny na rozličné figúry za rozličné ťahy).
Zložitejšie sú výpočty zahrňujúce následnosti ťahov, tak napr. známy problém, koľko rozličných postavení môže vzniknúť po dvoch ťahoch bieleho aj čierneho zo základného postavenia partie. Po úvodnom ťahu bieleho vzniká 20 možností (16 pešiakmi, 4 jazdcami) a po odpovedi čierneho už 400 možností (lebo každý prvý ťah bieleho možno skombinovať s 20 rozličnými ťahmi čierneho). Keď pridáme ešte jeden ťah bieleho, treba počítať takto: Rozličných postavení po dvoch ťahoch bieleho (keby čierny neťahal) je spolu 268. Keď ich skombinujeme s 20 možnosťami čierneho, vyšlo by číslo 268 × 20 = 5360. To je však len zdanlivé riešenie. K tomuto počtu treba totiž pripočítať 14 možností s braním pešiaka (napr. 1.a4 b5 2.a:b5) a odpočítať 8 možností s blokovaním pešiaka (napr. 1.a4 a5 a nejde 2.a5), ako aj 4 možnosti s prerušením línie strelca (napr. 1.d3 g5 a 2.Sh6 nie je možné). A tak presný výsledok je 5362. Ďalšie počítanie už naráža na značné ťažkosti. Až roku 1946 známy anglický šachový skladateľ Thomas Rayner Dawson vypočítal, že po dvoch ťahoch bieleho aj čierneho môže vzniknúť 72084 "šachovo" rozličných postavení (hoci "geometricky" rozličných je len 71852 – vtip je v tom, že postavenia typu 1.a4 b5 2.a5 Jc6 a 1.a4 Jc6 2.a5 b5 treba pokladať za rozličné vzhľadom na to, že iba v druhom z nich má biely právo pokračovať 3.a:b6 en passant!). – Ďalšie výpočty majú už iba odhadový charakter: tak po 3. ťahu bieleho leží výsledok v intervale 810000 ± 1000, po 3. ťahu čierneho 9130000 ± 10000.
Našim čitateľom dávame dnes oveľa ľahší problém (č. 8): Koľko je všetkých legálnych postavení bieleho a čierneho kráľa? (Ináč povedané: Koľkými spôsobmi môžeme na šachovnicu postaviť bieleho a čierneho kráľa tak, aby nestáli vedľa seba?). Riešenie pošlite do 10 dní na adresu redakcie Technických novín, Hviezdoslavovo nám. 11, 801 00 Bratislava 1. Spomedzi správnych riešiteľov vyžrebujeme troch výhercov knižných cien. Osobitnú cenu dostane riešiteľ, ktorý podá všeobecné riešenie na šachovnici n × n polí.